lunedì 5 ottobre 2015

La Bottiglia di Klein ( Klein Bottle)

Ciao a tutti!
In questo post spiegherò cos'è la Bottiglia di Klein,
 un'altra superficie facente parte dei cosiddetti e nostri amati piani negativi!
e vi mostrerò il mio modello di Bottiglia di Klein
 realizzato a uncinetto e come potete realizzarlo anche voi! 
Sono noti molti modelli di cappelli, realizzati utilizzando questa particolare forma iperbolica.

E' fondamentale prima di iniziare con la pratica, capire cosa dobbiamo andare a realizzare e capire di cosa stiamo parlando per poterlo poi concretizzare percui non saltate la parte teorica!
:•)

Wikipedia ci dice:
In matematica, la bottiglia di Klein (detta anche otre di Klein) è una superficie non-orientabile di genere 2, cioè una superficie per la quale non c'è distinzione fra "interno" ed "esterno". 
La bottiglia di Klein è stata descritta per la prima volta nel 1882 dal matematico tedesco Felix Klein
È strettamente correlata al nastro di Möbius e alle immersioni del piano proiettivo reale.


disegno di una bottiglia di klein

Si immagini una bottiglia con un buco sul fondo. 
Ora si estenda il collo della bottiglia, curvandolo su se stesso, fino ad inserirlo lateralmente all'interno di questa. Questa operazione richiede nello spazio tridimensionale che il collo perfori la parete della bottiglia: effettuata però nello spazio euclideo quadridimensionale \R^4, l'operazione può essere fatta senza toccare la parete. Infine, si colleghi il collo con il buco in fondo.

http://www.batmath.it/matematica/varie/klein/klein.htm

Diversamente da un bicchiere, questo oggetto non ha "bordi" dove la superficie termina bruscamente. Diversamente da un pallone, una mosca può andare dall'interno all'esterno senza attraversare la superficie (quindi non esiste realmente un "dentro" e un "fuori").
Il nome Bottiglia di Klein pare essere nato da una traduzione errata del termine tedesco Fläche che significa superficie. Questo è stato confuso con la parola Flasche che significa bottiglia. Ciò nonostante, il nome è considerato corretto anche in tedesco.

Proprietà:
Come il nastro di Möbius, la bottiglia di Klein è una varietà differenziabile bidimensionale non orientabile. Diversamente dal nastro di Möbius, la bottiglia di Klein è una varietà chiusa, vale a dire che è una varietà compatta senza bordo. Mentre il nastro di Möbius può essere rappresentato all'interno dello spazio euclideo tridimensionale R3, la bottiglia di Klein non può (e infatti nelle rappresentazioni grafiche tridimensionali la superficie è costretta ad autointersecarsi da qualche parte) ma può essere rappresentata nello spazio euclideo quadridimensionale R4.

Dividendo la bottiglia di Klein si ottiene un nastro di Möbius.


La bottiglia di Klein può essere costruita (in senso matematico) "incollando" i margini di due nastri di Möbius. Se una bottiglia di Klein è divisa in due lungo il suo piano di simmetria, il risultato è un nastro di Möbius, raffigurato a destra. Si tenga presente che l'intersezione raffigurata non esiste veramente. 
Infatti è possibile tagliare la bottiglia di Klein in un singolo nastro di Möbius.

MODELLO A UNCINETTO

Dopo aver capito di cosa si tratta, cerchiamo di tradurre tutto questo a uncinetto. 

Io non vi ho preparato uno schema ben preciso perchè è una questione di aumenti e diminuzioni che voi potete benissimo intuire avendo capito la struttura del modello, ma vi posterò qualche foto del mio esperimento cercando di spiegarvi i passaggi più importanti.

FASE 1

Vi consiglio di partire da una serie di catenelle almeno da una 30 ina in su e unirle a cerchio con una m.bassissima (ovviamente senza chiudere), dipende da quanto volete sia grande la vostra bottiglia di klein, (quindi in questo modo partite dal corpo della bottiglia) e poi fate quanti giri volete, finchè non sarete soddisfatti della lunghezza della vostra bottiglia.
Al penultimo giro lasciate uno spazio di 4 maglie e fate 4 catenelle a lato della vostra bottiglia e poi proseguite normalmente con le maglie basse. 
Lo spazio servirà dopo per un'altro passaggio.
Consiglio di usare un filato grosso (5,6) ,o se volete lavorate un filo doppio.
Usate le maglie basse per conferire più compattezza al modello.

Fase 2
Quando avete raggiunto la lunghezza desiderata iniziate a diminuire, alternando le vostre diminuzioni, con un giro di maglie basse per fare una diminuzione in maniera più graduale e definita. Immaginate quindi come di realizzare una bottiglia.
 Diminuite fino ad ottenere il collo.
Proseguite in maniera lineare con le maglie basse lavorando il vostro tubo. 
Esso dovrete farlo lungo il giusto per poi farlo entrare dentro il lavoro, precisamente
 nello spazio che avevate precedentemente lasciato, con le 4 maglie vuote.

Fino ad adesso otterrete una cosa di questo genere...



Ecco l'interno del modello dopo l'inserimento del tubo nello spazio.

Abbiamo quasi terminato...


Per terminare la vostra bottiglia di Klein non dovete far altro che spingere leggermente in fuori il tubicino e proseguire nel lavorarlo, stavolta aumentando le maglie fino alla larghezza esatta della base.
Unite alla parte iniziale con ago da lana.

E avete terminato!

L'effetto sarà ovviamente morbido ma se volete prima di chiuderla
 potete imbottirla per renderla più rigida!

E se volete potete decorarla come vi piace, 
vi mostro il mio risultato!





Spero vi sia piaciuto e alla prossima!

Rita Blúnúr

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